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    北望你的安
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                <a href="#" style="padding: 4rem 4rem 2rem 4rem ;"><h2 >随机过程 第3章</h2></a>
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            <!-- Post -->
            <div class="typo" style="padding: 3rem;">
                <h1 id="第三章-条件概率与条件期望"><a href="#第三章-条件概率与条件期望" class="headerlink" title="第三章 条件概率与条件期望"></a>第三章 条件概率与条件期望</h1><blockquote>
<p>概率论中最有用的概念就包括条件概率与条件概率，其原因有两方面。首先，在实践中我们常常对于计算在<strong>部分信息已知</strong>时的概率和期望感兴趣，这样的概率和期望就是条件概率和条件期望。其次，在计算需要的概率或期望时，在某些适当的随机变量上取条件是极其有用的方法。</p>
</blockquote>
<h2 id="3-1-离散情况"><a href="#3-1-离散情况" class="headerlink" title="3.1 离散情况"></a>3.1 离散情况</h2><p>主要就是这一个式子：<br><img src="/images/SP/32.jpg" alt="《应用随机过程概率模型导论》"><br>例如X和Y的联合概率密度函数为P（1，1）=0.5，P（1，2）=0.1，P（2，1）=0.1，P（2，2）=0.3<br>那么给定Y=1的条件下，X的概率密度函数为：<br><img src="/images/SP/33.jpg" alt="《应用随机过程概率模型导论》"><br><img src="/images/SP/34.jpg" alt="《应用随机过程概率模型导论》"><br>在离散情况下，条件期望也不难求，按照公式来就可以，例如还是这道题，在Y=1的条件下，X的期望就为7/6</p>
<h2 id="3-2-连续情况"><a href="#3-2-连续情况" class="headerlink" title="3.2 连续情况"></a>3.2 连续情况</h2><p>条件概率为：<br><img src="/images/SP/35.jpg" alt="《应用随机过程概率模型导论》"><br>条件期望为：<br><img src="/images/SP/36.jpg" alt="《应用随机过程概率模型导论》">  </p>
<h2 id="3-3-通过取条件计算期望"><a href="#3-3-通过取条件计算期望" class="headerlink" title="3.3 通过取条件计算期望"></a>3.3 通过取条件计算期望</h2><p>以E[X|Y]记随机变量Y的这样的函数，它在Y = y的取值是E[X|Y=y]。<strong>注意E[X|Y]本身是一个随机变量，是随机变量Y的一个函数！</strong>则对于所有的随机变量X和Y有：E[X] = E[ E[X|Y] ]  </p>
<p>如果Y是离散变量则有：<br><img src="/images/SP/37.jpg" alt="《应用随机过程概率模型导论》"><br>如果Y是连续变量则有：<br><img src="/images/SP/38.jpg" alt="《应用随机过程概率模型导论》">  </p>
<h2 id="3-4-通过取条件计算概率"><a href="#3-4-通过取条件计算概率" class="headerlink" title="3.4 通过取条件计算概率"></a>3.4 通过取条件计算概率</h2><p><img src="/images/SP/39.jpg" alt="《应用随机过程概率模型导论》"><br>实际上就是全概率公式</p>
<h2 id="3-5-复合随机变量的恒等式"><a href="#3-5-复合随机变量的恒等式" class="headerlink" title="3.5 复合随机变量的恒等式"></a>3.5 复合随机变量的恒等式</h2><p>这一节的重点就在于复合分布：</p>
<blockquote>
<p>复合分布是一类概率分布，如果一个随机变量X服从的分布与一个参数α有关，而α也是一个随机变量且服从一个确定的分布，这时称随机变量X服从一个复合分布。例如：复合二项分布、复合泊松分布、复合负二项分布等。  </p>
</blockquote>
<h3 id="3-5-1-复合随机变量恒等式"><a href="#3-5-1-复合随机变量恒等式" class="headerlink" title="3.5.1 复合随机变量恒等式"></a>3.5.1 复合随机变量恒等式</h3><p><img src="/images/SP/40.jpg" alt="《应用随机过程概率模型导论》"><br><img src="/images/SP/41.jpg" alt="《应用随机过程概率模型导论》"><br>首先在一列独立同分布随机变量Xi上定义了SN为X1到XN的求和，需要注意的是N也是一个随机变量。随后基于随机变量N又定义了随机变量M。<br>之后书上便介绍了复合变量恒等式：<br><img src="/images/SP/42.jpg" alt="《应用随机过程概率模型导论》"><br>之后还有其推论：<br><img src="/images/SP/43.jpg" alt="《应用随机过程概率模型导论》"><br><img src="/images/SP/47.jpg" alt="《应用随机过程概率模型导论》"><br>当M-1的分布和N的分布有关时，上面的推论对计算SN的概率密度函数是有用的递推公式。</p>
<h3 id="3-5-2-泊松复合分布"><a href="#3-5-2-泊松复合分布" class="headerlink" title="3.5.2 泊松复合分布"></a>3.5.2 泊松复合分布</h3><blockquote>
<p>在概率论中，泊松复合分布是指一些独立同分布的随机变量的和的概率分布，而且这些随机变量的个数服从泊松分布。  </p>
</blockquote>
<p>如果N有均值λ的泊松分布，那么：<br><img src="/images/SP/44.jpg" alt="《应用随机过程概率模型导论》"><br>可见得，M-1也是均值为λ的泊松随机变量。记：<br><img src="/images/SP/45.jpg" alt="《应用随机过程概率模型导论》"><br>记代表X1+X2+…+XN和为n的概率<br>由上述推论给出的递推公式可以写成：<br><img src="/images/SP/46.jpg" alt="《应用随机过程概率模型导论》"><br>这样便可以递推求出所有的Pn</p>
<h3 id="3-5-3-二项复合分布"><a href="#3-5-3-二项复合分布" class="headerlink" title="3.5.3 二项复合分布"></a>3.5.3 二项复合分布</h3><p>假设N是一个参数为r和p的二项随机变量，那么<br><img src="/images/SP/48.jpg" alt="《应用随机过程概率模型导论》"><br>可见M-1是参数为r-1,p的二项随机变量。<br>固定P，令N(r)是一个参数为r和p的二项随机变量，再令<br><img src="/images/SP/49.jpg" alt="《应用随机过程概率模型导论》"><br>由上述推论给出的递推公式可以写成：<br><img src="/images/SP/50.jpg" alt="《应用随机过程概率模型导论》"> </p>
<h3 id="3-5-4-与负二项随机变量有关的一个复合分布"><a href="#3-5-4-与负二项随机变量有关的一个复合分布" class="headerlink" title="3.5.4 与负二项随机变量有关的一个复合分布"></a>3.5.4 与负二项随机变量有关的一个复合分布</h3><p>设N有如下的概率密度函数：<br><img src="/images/SP/51.jpg" alt="《应用随机过程概率模型导论》"><br>那么M-1是一个NB（r+1）随机变量：<br><img src="/images/SP/52.jpg" alt="《应用随机过程概率模型导论》"><br>令：<br><img src="/images/SP/53.jpg" alt="《应用随机过程概率模型导论》"><br>根据递推公式则有：<br><img src="/images/SP/54.jpg" alt="《应用随机过程概率模型导论》">   </p>

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